第一章 代数初步认识

   [重点、难点点拨]
　　一、用字母表示数
　　用字母表示数是代数的一个重要特点，渗透了从算术到代数的数学思想，从特殊到一般的抽象概括的思想。
　　二、代数式
　　用运算符号(加、减、乘、除、乘方及后面要学的开方)把数及表示数的字母连接起来的式子称为代数式。
　　注意：单独一个数或字母也叫做代数式。
　　三、列代数式
　　列代数式是将语言叙述的数量关系用代数式表示出来。
　　列代数式的关键是正确理解数量关系，弄清运算顺序和括号的使用。
　　四、代数式的值
　　用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，就叫代数式的值。
　　代数式的值是个具体的量，这个量随字母取值的不同按给定运算顺序会计算出不同的数量。求代数式的值时，要注意代数式里的字母所取的值不能使代数式或代数式所表示的实际数量关系无意义。
　　五、公式
　　常用的基本数量关系可以写成公式表示，用字母表示数的一类重要的应用就是公式。
　　六、简易方程
　　方程：含有未知数的等式.
　　方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值.
　　解方程：求方程的解的过程
[重点、难点例题解析]
　　例1 说出下列代数式的意义：

　　分析：语言叙述时要注意代数式的运算顺序，认真对比(3)、
(4)两题，(3)题是先乘方再减，(4)题是先减再乘方。代数式中的
"+、-、.、--（分数线）"读为"和、差、积、商"。
　　解：(1)3a与b的差再与c的和；
　　(2)x与2的和的5倍；
　　(3)a、b两数的平方差；
　　(4)a与b的差的平方；
　　(5)4c除以ab的商；
　　(6)x的与y的的差的平方.

　　例2 用代数式表示
　　(1)比x的2倍大3的数；
　　(2)比a的大1的数与4b的商；
　　(3)a、b两数的立方和；
　　(4)比m的倒数大n的数.

　　分析：用代数式表示要注意以下几点：
　　(1)数字与字母相乘、或字母与字母相乘时，通常使用“.”号或省略不写．如：a×b记作ab；
　　(2)数字与字母相乘时；一般把数字写在字母的前面．如：a×3记作3a；
　　(3)在代数式中若出现除法运算时，一般用分数线表示．例如：3÷a记作的形式；
　　(4)列代数式时，要弄清楚题中的数量关系词语对应的运算符号，例如“和”、“大”、“加”等词语对应“＋”号；“积”、“倍”、“乘”等词语对应“×”号。

　　例3 列出下列代数式：
　　(1)长方形面积x平方厘米，长a厘米，周长是多少?
　　(2)A、B两地相距120公里，甲车每小时走x公里，乙车每小时比甲车快3公里，从A地到B地乙车比甲车快多少小时?
　　(3)一件工作甲单独干a天完成，乙单独干b天完成，甲乙两人合干m天所完成的工作量．
　　(4)有浓度为8％的盐水m公斤，含纯盐多少公斤?含水多少公斤?
　　(5)一个三位数，百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，写出这个三位数．
　　分析：(1)长方形的面积是长×宽，已知长可求出长方形的宽，则长方形的周长是长与宽的2倍．
　　(2)行程公式：路程=速度×时间， ，从而求出时间差.
　　(3)工程问题，把总量看作1，甲单独一天的工效是，乙单独一天的工效是，两人合作一天的工作效率是，工作时间=

　　(4)百分比浓度问题有关公式：
　　溶液重量=溶质重量＋溶剂重量
　　
　　溶质重量=溶液重量×溶液浓度
　　(5)数字问题：百位上数字×100＋十位上数字×10＋个位上数字＝三位数.
　　解：(1)∵长方形的面积是x平方厘米，长a厘米
　　　　　∴宽是厘米
　　　　　∴长方形的周长是厘米
　　　　(2)∵甲车每小时走x公里，乙车每小时走(x＋3)公里
　　　　　∴甲车从A地到B地用小时。乙车从A地到B地用小时
　　　　　∴从A地到B地乙车比甲车快小时
　　　　(3)∵甲每天完成工作总量的，乙每天完成工作总量的
　　　　　∴甲乙两人合于m天完成的工作量是 

　　　　(4)∵含纯盐重量为8％m公斤
　　　　　∴含水的重量为(m-8％m)公斤．
　　　　(5)三位数是100a十10b十c
　　例4 根据给出的a、b的值求代数式 
　　
　　分析：解题时要弄清运算符号，注意运算顺序．
　　

　　例5 图1-1中，正方形的边长为x，半径为的圆内接于正方形，求阴影部　　分的面积，并求x=2cm时，阴影部分的面积值.
　　

　图１－１　
[重点、难点练习题]
一、选择题’
1．正方形的周长是x，那么正方形的面积是 ( )

2．被5除余3的数可以表示为 ( )
A．5m-3 　　B.5m+3
C. 3m-5 　　D.3m+5
3．一个两位数，个位上的数是十位上的数的，如果十位上的数是a，则表示这个两位数的代数式是 ( )

4．电视机厂原来每天生产量为m台。技术改造后每天提高
产量10%，现在每天生产电视机( )台
A．m十10％ B.10％
C．m(1十10%) D.m(1-10％)
5．当a=时，代数式的值是( )

6．下列各式是方程的是 ( )

二、说出下列代数式的意义

三、用代数式表示 ；
1．x的2倍与y的5倍的差；2. a与b的差的；
3. 与a的商是b的数；
4. a的倒数与a的和的平方；
5. x、y的和与x、y的积的商；
四、设n是整数，用n表示下列各数
1. 奇数；
2. 偶数；
3. 5的倍数；
4. 能被6整除的数；
5. 三个连续整数；
6. 三个连续奇数；
7. 三个连续偶数；
8. 被9除余3的数．
五、用代数式表示下面各图中阴影部分的面积

图１－２－（１）　　图１－２－（２）　图１－２－（３）
六、用代数式表示
　　1．电冰箱每台为a元，降价5％的售价；
　　2．付出20元买单价为m元的铅笔n支应找回的钱数；
　　3．有一项工作甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成，甲、乙两人合作7天的工作量；
　　4．某工厂年产量为a，如果以每年年产量增长15％的速度发展，那么第三年的产量。
七、当m=4，n=3时求下列代数式的值

[全方位单元综合练习题]
一、选择题
1. 用代数式表示比x与y的差的一半小1的数，结果是( )

2. 用语言叙述代数式表达不正确的是 ( )
A. 比x的倒数小2的数
B. x的倒数与2的差
C. 1除以x的商与2的差
D. x与2的差的倒数
3. 如果a＝5，b＝2那么代数式的值为 ( )
 
4．如果m-1=0那么代数式的值为 ( )

5. 圆的直径为a cm，那么圆的面积为 ( )

6. 已知甲的行业速度为5千米/时，乙的行走速度为4千米/时，
二人从A地同时向B地行走了x小时，这时二人的距离是 ( )
A.5x千米 B.4x千米
C.9x千米 D.x千米
7. 如果代数式的值为零，那么x与y应满足 ( ）

8. 下列方程中，解是的共有 ( )



A.1个　　B.2个　　 C.3个 　　D.4个
9.某工厂上月产值是x万元，本月比上月增长12%，那么本
月的产值是 ( )
A.(x+1)12% 万元 　B.12%x 万元
C.(1十12％)又万元 D. 万元
10.某种原料连续两次涨价10%后是每千克m元，那么原价是( )

二、用代数式表示
1.a的3倍与b的立方的差；
2.m与n的差的一半的平方；
3.m与n的差的平方的一半；
4.a的平方的2倍与b的平方的的和；
5.x的一半与y的倒数的和；
6.比a大的数与比b少53％的数的和；
7.x与y的和的平方的5倍；
8.a的倒数与b的倒数的差．
三、用语言叙述下列代数式

四、求下列各代数式的值

五、按表中给出的具体数值，计算出表中四个代数式的各种值

六、解下列方程

七、轮船从甲地到乙池行驶的速度是每时a千米，从乙地到甲地行驶的速度是每小时(a-2)千米，甲、乙两地相距80千米，问轮船从甲地到乙地又从乙地返回甲地一次需多少时间?并求a＝10时所用的时间?
八、如图1—3长方形中挖去一个三角形
1．用代数式表示剩下部分的面积；
2．分别求当a＝20cm，a=30cm时剩下部分的面积；

3.当剩下的面积为150平方厘米时，验证长方形的边长分别为10厘米和20厘米；
4.若挖掉的三角形面积是18平方厘米时，长方形的边长是多少？
九、邮购一批书，每册定价m元，另加书价5%的邮费，购书y册，总计金额n元，用代数式表示n；当m=4.2，y=50时，求n的值。
十、某工厂生产了一批产品，出厂时要在成本的基础上加一定的利润，其重量x与出厂价如下表：
1.写出出厂价与重量x间的关系式；
2.计算6000千克产品的出厂价是多少？

参考答案